【統計学】負の二項分布の期待値と分散
統計学を学習していて色々な確率分布の期待値、分散を導出したので備忘録として記載していきます。
誤りがあればお知らせいただけると助かります。
・負の二項分布
成功確率のベルヌーイ試行について、
回成功するまでに要した失敗回数
の確率分布が負の二項分布になります。
合計回の試行のうち、成功が
回で失敗が
回とする。最後は成功で終わるので
回中
回の失敗を取り出せばよい。
よって、確率関数は
となる。と置いています。
が確率関数であることを確かめる
まずのマクローリン展開を考えます。
マクローリン展開の定義式は以下です。
\begin{align}
f(q) &= \sum_{x=0}^{\infty} f^{(x)}(0) \dfrac{q^x}{x!} \tag{2}\\
\end{align}
の両辺を
で微分していくと、
\begin{align}
f^{\prime}(q) &= \dfrac{1}{(1-q)^2} \\
\end{align}
\begin{align}
f^{\prime\prime}(q) &= \dfrac{2}{(1-q)^3} \\
\end{align}
\begin{align}
f^{\prime\prime\prime}(q) &= \dfrac{6}{(1-q)^4} \\ \vdots
\end{align}
となるので、それぞれを代入すると
式は
\begin{align}
f(q) &= f(0) + f^{\prime}(0)\dfrac{q^1}{1!} + f^{\prime\prime}(0)\dfrac{q^2}{2!} + f^{\prime\prime\prime}(0)\dfrac{q^3}{3!} + \cdots \\ &= 1 + q + q^2 + q^3 + \cdots \\ &=\sum_{x=0}^{\infty}q^x\\
\end{align}
よって、
\begin{align}
\dfrac{1}{1-q} &=\sum_{x=0}^{\infty}q^x \tag{3} \\
\end{align}
と書ける。
式を両辺
で微分する。
\begin{align}
\dfrac{1}{(1-q)^2} &=\sum_{x=0}^{\infty} xq^{x-1} \\ &= \sum_{x=1}^{\infty} xq^{x-1} \\ &=\sum_{x=0}^{\infty} (x+1)q^{x} \\
\end{align}
※後のことを考えての形にしておく。
もう一回両辺で微分する。
\begin{align}
\dfrac{2}{(1-q)^3} &=\sum_{x=0}^{\infty} (x+1)\cdot xq^{x-1} \\ &= \sum_{x=1}^{\infty} x(x+1)q^{x-1} \\ &=\sum_{x=0}^{\infty} (x+2)(x+1)q^{x} \\
\end{align}
よって、左辺をあえて書き換えると
\begin{align}
\dfrac{2!}{(1-q)^{(2+1)}} &=\sum_{x=0}^{\infty} (x+2)(x+1)q^{x} \\
\end{align}
となる。
更にもう一回両辺で微分すると、（途中式は省略）
\begin{align}
\dfrac{6}{(1-q)^4} &=\sum_{x=0}^{\infty} (x+3)(x+2)(x+1)q^{x} \\
\end{align}
となる。
これも左辺を書き換えると
\begin{align}
\dfrac{3!}{(1-q)^{3+1}} &=\sum_{x=0}^{\infty} (x+3)(x+2)(x+1)q^{x} \\
\end{align}
となる。
よって、両辺をで微分し続けると、r-1回微分したときは以下のようになる。
\begin{align}
\dfrac{(r-1)!}{(1-q)^{(r-1)+1}} &=\sum_{x=0}^{\infty} (x+r-1) \cdots (x+1)q^{x} \\
\end{align}
左辺を1にするために整理すると、
\begin{align}
1 &=\sum_{x=0}^{\infty}\dfrac{(x+r-1) \cdots (x+1)}{(r-1)!} (1-q)^r q^{x} \\ &= \sum_{x=0}^{\infty}\dfrac{(x+r-1) \cdots (x+1) \cdot x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \cdots}{x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \cdots (r-1)!} p^r q^{x} \\ &= \sum_{x=0}^{\infty}\dfrac{(x+r-1)!}{x! (r-1)!} p^r q^{x} \\ &= \sum_{x=0}^{\infty} {}_{r+x-1} \mathrm{C}_x p^r q^x \\ &= \sum_{x=0}^{\infty} P \\
\end{align}
となるので、は確率関数である。
※2行目からと置いています。
期待値
確率母関数 を使って計算します。
：確率変数。その実現値
は整数
とします。
：
となる確率
とします。
\begin{align}
G(s) &= E[s^X] \\
&= \sum_{x=0}^{\infty} s^x p(x) \\ &= \sum_{x=0}^{\infty} s^{x} {}_{r+x-1} \mathrm{C}_x p^r q^x \\ &= \sum_{x=0}^{\infty} {}_{r+x-1} \mathrm{C}_x p^r (sq)^{x}
\\ &= \dfrac{p^r}{(1-sq)^r} \sum_{x=0}^{\infty} {}_{r+x-1} \mathrm{C}_x (1-sq)^r (sq)^x \\ \end{align}
、
とおくと、右辺の和記号の中身は負の二項分布の確率関数となり、その和は1になるので
\begin{align}
G(s) &= \dfrac{p^r}{(1-sq)^r} \\ \tag{4} \end{align}
となる。
両辺をで微分すると、
\begin{align}
G^{\prime}(s) &= \dfrac{p^r \cdot r(1-sq)^{r-1} \cdot q}{(1-sq)^{2r}} \\ &= \dfrac{rqp^r}{(1-sq)^{r+1}} \\ \end{align}
となるので、期待値は を代入して、
\begin{align}
E[X] &= G^{\prime}(1)\\ &= \dfrac{rqp^r}{(1-q)^{r+1}} \\ &= \dfrac{rqp^r}{p^{r+1}} \\ &= \dfrac{rq}{p} \\
\end{align}
となる。
分散
まず、式の両辺を
で二階微分すると、
\begin{align}
G^{\prime\prime}(s) &= \dfrac{rqp^r \cdot (r+1)(1-qs)^r \cdot q}{(1-sq)^{2(r+1)}} \\ &= \dfrac{r(r+1)q^2p^r}{(1-qs)^{r+2}}
\end{align}
となるので、
\begin{align}
E[X(X-1)] &= G^{\prime\prime}(1) \\ &= \dfrac{r(r+1)q^2p^r}{(1-q)^{r+2}} \\ &= \dfrac{r(r+1)q^2p^r}{(p^{r+2}} \\ &= \dfrac{r(r+1)q^2}{p^2}
\end{align}
となる。
よって、分散は
\begin{align}
V[X] &= E[X(X-1)] + E[X]- {(E[X])}^2 \\
&= \dfrac{r(r+1)q^2}{p^2} + \dfrac{rq}{p} - \dfrac{r^2q^2}{p^2} \\
&= \dfrac{r^2q^2+rq^2+rpq-r^2q^2}{p^2} \\
&= \dfrac{rq(p+q)}{p^2} \\
&= \dfrac{rq}{p^2} \\
\end{align}
となる。
参考文献：
