【統計学】幾何分布の期待値と分散
統計学を学習していて色々な確率分布の期待値、分散を導出したので備忘録として記載していきます。
誤りがあればお知らせいただけると助かります。
・幾何分布
成功確率のベルヌーイ試行について、初めて成功するまでに要した失敗回数
の確率分布が幾何分布になります。
初めて成功するまで回かかったとすると、失敗回数は
なので確率関数Pは
となる。
が確率関数であることを確かめる
について総和をとると
\begin{align}
\sum_{x=0}^{\infty} P &= p \sum_{x=0}^{\infty} (1-p)^x \\
&= p \times \dfrac{1}{1-(1-p)} \\
&= 1 \\
\end{align}
となるので、は確率関数である。
二行目の変形は なので、以下の初項
、公比
の無限等比級数の和の公式を利用しました。
\begin{align}
\sum_{x=0}^{\infty} ar^x &= \dfrac{a}{1-r} \\
\end{align}
※初項 、公比
と置いて計算しました。
期待値
以下の確率母関数 を使って計算します。
：確率変数でその実現値
は整数
とします。
：
となる確率
として、とします。このとき、以下で表される確率母関数を使って期待値、分散を導出します。
\begin{align}
G(s) &= E[s^X] \\
&= \sum_{t=0}^{\infty} s^t p(t) \tag{1}
\end{align}
式を両辺sで微分すると、
\begin{align}
G^{\prime}(s) &= \dfrac{d}{ds} \sum_{t=0}^{\infty} s^t p(t) \\ &= \sum_{t=0}^{\infty} \dfrac{d}{ds}s^t p(t)\\ &= \sum_{t=0}^{\infty} ts^{t-1} p(t)\\ \end{align}
となり、 を代入すると、
\begin{align}
G^{\prime}(1) &= \sum_{t=0}^{\infty} t\times1^{t-1}\times p(t)\\ &= \sum_{t=0}^{\infty} tp(t)\\ \end{align}
となりますが、これは期待値の定義そのものなので結局
\begin{align}
G^{\prime}(1) &= E[X] \tag{2} \\ \end{align}
となります。また、式の両辺を
で二階微分して
を代入すると以下の関係式も導けます。
\begin{align}
G^{\prime\prime}(1) &= E[X(X-1)] \tag{3} \\ \end{align}
式と
式を使って期待値、分散を導出します。
まず、式に幾何分布の確率関数Pを代入すると、
\begin{align}
G(s) &= E[s^X] \\
&= \sum_{t=0}^{\infty} s^t P\\ &= \sum_{t=0}^{\infty} s^t p(1-p)^t \\
\end{align}
ここで、 とおきます。
\begin{align}
G(s) &= p \sum_{t=0}^{\infty} (sq)^t \\
&= \dfrac{p}{1-qs} (ただし、s ＜ \dfrac{1}{q} とする。) \tag{4} \\
\end{align}
式を両辺sで微分すると、
\begin{align}
G^{\prime}(s) &= \dfrac{pq}{(1-qs)^2} \tag{5} \\
\end{align}
よって、期待値は
\begin{align}
E[X] &= G^{\prime}(1)\\ &= \dfrac{pq}{(1-q)^2} \\ &= \dfrac{pq}{p^2}\\ &= \dfrac{1-p}{p} \\
\end{align}
となる。
分散
まず、式の両辺を
で微分すると、
\begin{align}
G^{\prime\prime}(s) &= \dfrac{-pq \cdot 2(1-qs) \cdot (-q)}{(1-qs)^4} \\ &= \dfrac{2pq^2}{(1-qs)^3}
\end{align}
となるので、
\begin{align}
E[X(X-1)] &= G^{\prime\prime}(1) \\ &= \dfrac{2pq^2}{(1-q)^3} \\ &= \dfrac{2q^2}{p^2} \\ &= \dfrac{2(1-p)^2}{p^2} \\
\end{align}
となる。
よって、分散は
\begin{align}
V[X] &= E[X(X-1)] + E[X]- {(E[X])}^2 \\
&= \dfrac{2(1-p)^2}{p^2} + \dfrac{1-p}{p} - \dfrac{(1-p)^2}{p^2} \\
&= \dfrac{(1-p)^2}{p^2} + \dfrac{p(1-p)}{p^2} \\
&= \dfrac{(1-p)\{(1-p)+p\}}{p^2} \\
&= \dfrac{1-p}{p^2} \\
\end{align}
となる。
参考文献：
