【統計学】（連続）一様分布の期待値と分散
統計学を学習していて色々な確率分布の期待値、分散を導出したので備忘録として記載していきます。
誤りがあればお知らせいただけると助かります。
・（連続）一様分布
確率変数の確率密度関数
は
\begin{align}
f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
\dfrac{1}{b-a} & (a \leq x \leq b)\\
0 & (その他)
\end{array}
\right.
\end{align}
となる。
が確率密度関数であることを確かめる
\begin{align}
\int^{\infty}_{-\infty} f(x)dx &= \int^a_{-\infty} f(x)dx + \int^b_a f(x)dx + \int^{\infty}_b f(x)dx \\ &= \int^a_{-\infty} 0 \cdot dx + \int^b_a \dfrac{1}{b-a}dx + \int^{\infty}_b 0 \cdot dx \\ &= \dfrac{1}{b-a} \left[x\right]^b_a \\ &= \dfrac{1}{b-a} \cdot (b-a) \\ &= 1\\
\end{align}
となるので、は確率密度関数である。
期待値
期待値の定義通り計算します。
\begin{align}
E[X] &= \int^{\infty}_{-\infty} x\cdot f(x)dx \\ &= \int^a_{-\infty} x \cdot f(x)dx + \int^b_a x \cdot f(x)dx + \int^{\infty}_b x \cdot f(x)dx \\ &= \int^a_{-\infty} x \cdot 0dx + \int^b_a x \cdot \dfrac{1}{b-a}dx + \int^{\infty}_b x \cdot 0 dx \\ &= \dfrac{1}{b-a} \left[\dfrac{1}{2}x^2\right]^b_a \\ &= \dfrac{1}{b-a} \cdot \dfrac{(b^2-a^2)}{2} \\ &= \dfrac{1}{b-a} \cdot \dfrac{(b+a)(b-a)}{2} \\ &= \dfrac{a+b}{2} \\
\end{align}
となります。
分散
まず、を求めます。
\begin{align}
E[X^2] &= \int^{\infty}_{-\infty} x^2\cdot f(x)dx \\ &= \int^a_{-\infty} x^2 \cdot f(x)dx + \int^b_a x^2 \cdot f(x)dx + \int^{\infty}_b x^2 \cdot f(x)dx \\ &= \int^a_{-\infty} x^2 \cdot 0dx + \int^b_a x^2 \cdot \dfrac{1}{b-a}dx + \int^{\infty}_b x^2 \cdot 0 dx \\ &= \dfrac{1}{b-a} \left[\dfrac{1}{3}x^3\right]^b_a \\ &= \dfrac{1}{b-a} \cdot \dfrac{(b^3-a^3)}{3} \\ &= \dfrac{1}{b-a} \cdot \dfrac{(b-a)(b^2+ba+a^2)}{3} \\ &= \dfrac{a^2+ab+b^2}{3} \\
\end{align}
となります。
よって、分散は
\begin{align}
V[X] &= E[X^2] - {(E[X])}^2 \\
&= \dfrac{a^2+ab+b^2}{3} - \dfrac{(a+b)^2}{4} \\
&= \dfrac{4a^2+4ab+4b^2-3a^2-6ab-3b^2}{12} \\
&= \dfrac{(b-a)^2}{12} \\ \end{align}
となる。
参考文献：
