【統計学】ポアソン分布の期待値と分散
統計学を学習していて色々な確率分布の期待値、分散を導出したので備忘録として記載していきます。
誤りがあればお知らせいただけると助かります。
・ポアソン分布
確率関数は
です。パラメータは
とします。
が確率関数であることを確かめる
以下の のテイラー展開を利用する。
を
について総和をとると
\begin{align}
\sum_{x=0}^{\infty} P &= \sum_{x=0}^{\infty}{}\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda} \\
&= e^{-\lambda} \sum_{x=0}^{\infty}{}\frac{\lambda^x}{x!} \\
&= e^{-\lambda} \times e^{\lambda} \\
&= 1
\end{align}
となるので、は確率関数である。
期待値
\begin{align}
E[X] &= \sum_{x=0}^{\infty} x \times P \\
&= \sum_{x=1}^{\infty} x\times\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}\\
&= \lambda \times e^{-\lambda}\sum_{x=1}^{\infty} \frac{\lambda^{x-1}}{(x-1)!}\\
\end{align}
ここで、とおくと、
\begin{align}
E[X] &= \lambda \times e^{-\lambda}\sum_{t=0}^{\infty} \frac{\lambda^t}{t!} \\
&= \lambda \times e^{-\lambda}\times e^{\lambda}\\
&= \lambda \\
\end{align}
分散
まず、 を求める。
\begin{align}
E[X(X-1)]&= \sum_{x=0}^{\infty} x(x-1) \times P \\
&= \sum_{x=2}^{\infty} x(x-1)\times\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}\\
&= \lambda^2 \times e^{-\lambda}\sum_{x=2}^{\infty} \times\frac{\lambda^{x-2}}{(x-2)!}\\
\end{align}
ここで、とおくと、
\begin{align}
E[X] &= \lambda^2 \times e^{-\lambda}\sum_{s=0}^{\infty} \frac{\lambda^s}{s!} \\
&= \lambda^2 \times e^{-\lambda}\times e^{\lambda}\\
&= \lambda^2 \\
\end{align}
よって、分散は
\begin{align}
V[X] &= E[X(X-1)] + E[X] - {(E[X])}^2 \\
&= \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 \\
&= \lambda \\
\end{align}
となる。
参考文献：
