【統計学】二項分布の期待値と分散
統計学を学習していて色々な確率分布の期待値、分散を導出したので備忘録として記載していきます。
誤りがあればお知らせいただけると助かります。
・二項分布
ベルヌーイ試行の例としてコインを投げて確率で表、確率
で裏が出る実験を考える。
回の試行のうち、表が
回出る確率
は
となる。
が確率関数であることを確かめる
以下の二項定理を利用する。
について総和をとると
\begin{align}
\sum_{x=0}^{N} P &= \sum_{x=0}^{N}{}_N \mathrm{C}_x p^x(1-p)^{N-x} \\
&= (p+1-p)^N \\
&= 1^N \\
&= 1
\end{align}
となるので、は確率関数である。
期待値
離散型確率変数は表が出たときに
、裏が出たときに
をとるとします。
\begin{align}
E[X] &= \sum_{x=0}^{N} x \times P \\
&= \sum_{x=1}^{N} x\times {}_N \mathrm{C}_x p^x(1-p)^{N-x}\\
&= \sum_{x=1}^{N} x\times \dfrac{N!}{x!(N-x)!} p^x(1-p)^{N-x}\\
&= \sum_{x=1}^{N} x\times \dfrac{N(N-1)!}{x(x-1)!(N-1-(x-1))!} p^x(1-p)^{N-x}\\
&= N \times \sum_{x=1}^{N} \dfrac{(N-1)!}{(x-1)!(N-1-(x-1))!} p^x(1-p)^{N-x}\\
\end{align}
ここで、とおくと、
\begin{align}
E[X] &= N \times \sum_{t=0}^{N-1} \dfrac{(N-1)!}{t!(N-1-t)!} p^{1+t}(1-p)^{N-(1+t)}\\
&= N \times \sum_{t=0}^{N-1} {}_{N-1} \mathrm{C}_t p^{1+t}(1-p)^{N-(1+t)}\\
&= Np \times \sum_{t=0}^{N-1} {}_{N-1} \mathrm{C}_t p^t(1-p)^{N-t-1}\\
&= Np \times (p+1-p)^{N-1}\\
&= Np \times 1^{N-1}\\
&= Np \\
\end{align}
分散
まず、 を求める。
\begin{align}
E[X(X-1)]&= \sum_{x=0}^{N} x(x-1) \times P \\
&= \sum_{x=2}^{N} x(x-1)\times {}_N \mathrm{C}_x p^x(1-p)^{N-x}\\
&= \sum_{x=2}^{N} x(x-1)\times \dfrac{N!}{x!(N-x)!} p^x(1-p)^{N-x}\\
&= \sum_{x=2}^{N} x(x-1)\times \dfrac{N(N-1)(N-2)!}{x(x-1)(x-2)!(N-2-(x-2))!} p^x(1-p)^{N-x}\\
&= N(N-1) \times \sum_{x=2}^{N} \dfrac{(N-2)!}{(x-2)!(N-2-(x-2))!} p^x(1-p)^{N-x}\\
\end{align}
ここで、とおくと、
\begin{align}
E[X] &= N(N-1) \times \sum_{s=0}^{N-2} \dfrac{(N-2)!}{s!(N-2-s)!} p^{2+s}(1-p)^{N-(2+s)}\\
&= N(N-1) \times \sum_{s=0}^{N-2} {}_{N-2} \mathrm{C}_s p^{2+s}(1-p)^{N-(2+s)}\\
&= N(N-1)p^2 \times \sum_{s=0}^{N-2} {}_{N-2} \mathrm{C}_s p^s(1-p)^{N-s-2}\\
&= N(N-1)p^2 \times (p+1-p)^{N-2}\\
&= N(N-1)p^2 \times 1^{N-2}\\
&= N(N-1)p^2 \\
\end{align}
よって、分散は
\begin{align}
V[X] &= E[X(X-1)] + E[X] - {(E[X])}^2 \\
&= N(N-1)p^2 + Np - (Np)^2 \\
&= -Np^2 + Np \\
&= Np(1-p) \\
\end{align}
となる。
参考文献：
