【統計学】離散一様分布の期待値と分散
統計学を学習していて色々な確率分布の期待値、分散を導出したので備忘録として記載していきます。
誤りがあればお知らせいただけると助かります。
・離散一様分布
：正の整数
：離散型確率変数 とする。
確率関数は
となる。
が確率関数であることを確かめる
について総和をとると
となるので、は確率関数である。
期待値
\begin{align}
E[X] &= \sum_{x=1}^{N} x \times P(X=x \mid N) \\
&= \dfrac{1}{N} \sum_{x=1}^{N} x \\
&= \dfrac{1}{N} \times \dfrac{N(N+1)}{2} \\
&= \dfrac{N+1}{2}
\end{align}
分散
まず、 を求める。
\begin{align}
E[X^2] &= \sum_{x=1}^{N} x^2 \times P(X=x \mid N) \\
&= \dfrac{1}{N} \sum_{x=1}^{N} x^2 \\
&= \dfrac{1}{N} \times \dfrac{N(N+1)(2N+1)}{6} \\
&= \dfrac{(N+1)(2N+1)}{6}
\end{align}
よって、分散は
\begin{align}
V[X] &= E[X^2] - {(E[X])}^2 \\
&= \dfrac{(N+1)(2N+1)}{6} - \dfrac{(N+1)^2}{4} \\
&= \dfrac{2N^2+3N+1}{6} - \dfrac{N^2+2N+1}{4} \\
&= \dfrac{4N^2+6N+2}{12} - \dfrac{3N^2+6N+3}{12} \\
&= \dfrac{N^2-1}{12} \\
&= \dfrac{(N+1)(N-1)}{12}
\end{align}
となる。
参考文献：
